Sistemas de numeración
¡Qué es un sistema de numeración?
Definición
Se denomina sistema de numeración al conjunto de símbolos y reglas de generación que se utilizan para la representación de datos numéricos o cantidades.
Es decir que un sistema de numeración es un conjunto de símbolos finitos y reglas de generación que permiten construir (representar) todos los números válidos.
Clasificación
Los sistemas de numeración pueden clasificarse en dos grandes grupos:
Sistemas de numeración no posicionales
En los sistemas no posicionales los dígitos tienen el valor del símbolo utilizado, que no depende de la posición (columna) que ocupan en el número.
Estos son los más antiguos. Se usaban, por ejemplo, los dedos de la mano para representar la cantidad cinco y después se hablaba de cuántas manos se tenía.
También se sabe que se usaban cuerdas con nudos para representar cantidades. Tiene mucho que ver con la coordinabilidad entre conjuntos. Entre ellos están los sistemas del antiguo Egipto, el sistema de numeración romana, y los usados en Mesoamérica por mayas, aztecas y otros pueblos.
Sistema unario
Veamos un ejemplo donde necesitemos tomar asistencia para una clase. Para contar el número de alumnos, podríamos comenzar usando los dedos, uno a la vez. Este sistema se llama sistema unario.
El sistema unario es un sistema de numeración que emplea un único símbolo, como una barra o un punto, para representar el valor “uno”. Los demás números se expresan mediante la repetición de este símbolo.
El sistema unario es considerado uno de los sistemas de numeración más simples, pero también el menos eficiente en términos de representación compacta de números. Esto se debe a que para representar números más grandes se requiere una cantidad cada vez mayor de símbolos repetidos.
Por ejemplo, para representar el número tres en el sistema unario, se utilizarían tres repeticiones del símbolo elegido, mientras que para el número diez se requerirían diez repeticiones.
El número 1 se representa con un único símbolo "|"
El número 2 se representa con dos símbolos "||"
El número 3 se representa con tres símbolos "|||"
El número 4 se representa con cuatro símbolos "||||"
El número 5 se representa con cinco símbolos "|||||"
Cada símbolo adicional representa un incremento de uno en el valor numérico. Así, el sistema unario puede volverse engorroso y poco práctico para representar números grandes.
Por lo tanto, este sistema solo se utiliza en algunas aplicaciones específicas, como en ciertas áreas de la informática teórica y en la lógica matemática, donde se utiliza para simplificar algunos problemas y demostraciones.
Sistemas de numeración posicionales
En los sistemas de numeración ponderados o posicionales el valor de un dígito depende tanto del símbolo utilizado, como de la posición que ese símbolo ocupa en el número.
Los sistemas de numeración actuales son sistemas posicionales, en los que el valor relativo que representa cada símbolo o dígito de una determinada cantidad depende de su valor absoluto y de la posición relativa que ocupa dicha cifra con respecto a la coma decimal.
El número de símbolos permitidos en un sistema de numeración posicional se conoce como base del sistema de numeración. Si un sistema de numeración posicional tiene base B significa que disponemos de B símbolos diferentes para escribir los números, y que B unidades forman una unidad de orden superior.
Por ejemplo, el sistema de numeración babilónico es posicional.
Representación de un sistema de numeración
Un sistema de numeración puede representarse como:
Donde:
- N es el sistema de numeración considerado (decimal, binario, hexadecimal, etc.)
-
S son los símbolos permitidos en el sistema. (Conocido como base)
- En el caso del sistema decimal son {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
- En el caso del sistema binario son {0, 1}
- En el caso del sistema hexadecimal son {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A (10), B (11), C (12), D (13), E (14), F (15)}
- En el caso del sistema octal son {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
-
R son las reglas que nos indican qué números son válidos en el sistema, y cuáles no.
Estas reglas son diferentes para cada sistema de numeración considerado, pero una regla común a todos es que para construir números válidos en un sistema de numeración determinado sólo se pueden utilizar los símbolos permitidos en ese sistema.
Base de un sistema de numeración
Definición
Un sistema de numeración se caracteriza fundamentalmente por su base. La base es el número de símbolos únicos y permitidos que utiliza dicho sistema para representar números, y además es el coeficiente que determina cuál es el valor de cada símbolo dependiendo de la posición que ocupe.
Para indicar en qué sistema de numeración se representa una cantidad se añade como subíndice a la derecha el número de símbolos que se pueden representar en dicho sistema.
Por ejemplo si mencionamos 101 (uno - cero - uno), dependiendo de la base, el valor representado será diferente. Veamos el siguiente caso tomando 101 como valor representado en el sistema decimal. En otros sistemas de numeración, 101 representará otro valor, si se lo convierte a sistema decimal:
- En el caso del sistema decimal: 101(10)
- En el caso del sistema binario: 101(2) = 5(10)
- En el caso del sistema hexadecimal: 101(16) = 257(10)
- En el caso del sistema octal: 101(8) = 65(10)
Veremos más adelante como son las reglas de conversión para cada caso.
Teorema Fundamental de la Numeración
El valor total del número será la suma de cada dígito multiplicado por la potencia de la base correspondiente a la posición que ocupa en el número.
Se trata de un teorema que relaciona una cantidad expresada en cualquier sistema de numeración posicional con la misma cantidad expresada en el sistema decimal. Supongamos una cantidad expresada en un sistema cuya base es B y representamos por xi cada uno de los dígitos que contiene dicha cantidad, donde el subíndice i indica la posición del dígito con respecto a la coma fraccionaria, la posición se numera en forma creciente hacia la izquierda y decreciente hacia la derecha de la coma (posición 0), en ambos casos de a 1.
En los sistemas de numeración posicional, como el sistema decimal (base 10), binario (base 2), hexadecimal (base 16), etc., un número se representa como una suma ponderada de sus dígitos multiplicados por las potencias de la base del sistema.
El Teorema Fundamental de la Numeración dice que el valor decimal de una cantidad expresada en otro sistema de numeración, está dado por la fórmula:
donde el número en base B es
Sistema decimal (Base 10)
Para representar números grandes, es preciso utilizar un sistema que posea una mayor cantidad de símbolos distintos que representen diferentes valores de manera más simple y práctica.
El sistema decimal, adoptado por contar con los diez dedos de la mano, es el sistema de numeración más común para resolver este problema y el que ha usado el hombre para contar desde hace mucho tiempo y aún lo usa en su vida cotidiana.
Utiliza un conjunto de diez símbolos distintos, conocidos como dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9), para representar cualquier número.
x<sub>i</sub> Є {0,...9}
Este sistema se basa en el valor posicional, lo que significa que el valor de cada dígito depende de su posición en el número.
Utilizando posiciones de valor creciente de derecha a izquierda, cada posición tiene un valor diez veces mayor (potencia de 10) que la posición a su derecha,siendo el dígito de más a la derecha el de menor valor y el de más a la izquierda el de mayor valor.
Para representar cantidades mayores que nueve, se utilizan múltiplos de diez Entonces, decimos que el número 10 se compone de un 1 en el lugar de las decenas y un 0 en el lugar de las unidades; el número 100 se compone de un 1 en la posición de las centenas y ceros en los lugares de las decenas y las unidades, y así sucesivamente.
Por ejemplo, sabemos que el siguiente número en decimal representa ciento veintitrés:
Cada lugar de un dígito representa una potencia de diez, ya que hay diez dígitos posibles para cada lugar. La posición más a la derecha es para 100, el del medio 101 y la posición más a la izquierda 102:
El 1 está en la posición de las centenas, el 2 está en la posición de las decenas y 3 está en la posición de las unidades.
Así 123 es 102 x 1 + 101 x 2 + 100 x 3 = 100 × 1 + 10 × 2 + 1 × 3 = 100 + 20 + 3 = 123
El sistema decimal es ampliamente utilizado en todo el mundo para realizar operaciones matemáticas y expresar cantidades en la vida cotidiana.
¿Cuál es la interpretación de la representación de la cantidad 973,1416?
Un valor determinado o cantidad, que se denomina número decimal, se puede expresar por la siguiente fórmula, donde la base es 10:
Sistema binario (Base 2)
El sistema binario utiliza un conjunto de dos símbolos distintos, conocidos como bits (0 y 1), para representar cualquier número, y es el que utilizan las computadoras para representar datos..
¿Qué es un bit? La respuesta es tan larga y tan específica que hemos decidido hacer un capítulo aparte. Cuando terminemos de explicar sistemas de numeración pasaremos a este tema pero, si no puedes aguantar la intriga, puedes consultarlo ahora haciendo clic aquí.
x<sub>i</sub> Є {0, 1}
Este sistema también se basa en el valor posicional, lo que significa que el valor de cada dígito depende de su posición en el número.
Utilizando posiciones de valor creciente de derecha a izquierda, cada posición tiene un valor dos veces mayor (potencia de 2) que la posición a su derecha,siendo el dígito de más a la derecha el de menor valor y el de más a la izquierda el de mayor valor.
Identificando cada posición de un número decimal
los nombres de cada posición en un byte, comenzando desde el bit más a la derecha (bit menos significativo) y yendo hacia el bit más a la izquierda (bit más significativo):
Bit 0: Bit de las unidades (2^0) Bit 1: Bit de los dos (2^1) Bit 2: Bit de los cuatros (2^2) Bit 3: Bit de los ochos (2^3) Bit 4: Bit de los dieciséis (2^4) Bit 5: Bit de los treinta y dos (2^5) Bit 6: Bit de los sesenta y cuatro (2^6) Bit 7: Bit de los ciento veintiocho (2^7)
Y así sucesivamente. Cada bit puede tener un valor de 0 o 1, y el valor total del byte es la suma de los valores de todos los bits que están en la posición 1.
Las posiciones fraccionarias en un número binario se denominan de la siguiente manera, comenzando desde el bit justo después del punto (bit de fracción) y yendo hacia la derecha:
Bit -1: Bit de los medios (2^-1) Bit -2: Bit de los cuartos (2^-2) Bit -3: Bit de los octavos (2^-3) Bit -4: Bit de los dieciseisavos (2^-4) Bit -5: Bit de los treintaidosavos (2^-5) Bit -6: Bit de los sesentaicuatroavos (2^-6) Bit -7: Bit de los ciento veintiochoavos (2^-7) Bit -8: Bit de los doscientos cincuenta y seisavos (2^-8)
Y así sucesivamente. Cada bit puede tener un valor de 0 o 1, y el valor total de la fracción es la suma de los valores de todos los bits que están en la posición 1.
Contando en binario
El patrón para contar en sistema binario es el mismo que el patrón en sistema decimal. Por ejemplo, imaginemos que cada dígito fuera una lamparita. si imaginas usar una sola lamparita, esta puede contar de cero (apagada) a uno (encendida). Sin embargo, si tuvieras tres lamparitas, ¡habría más opciones de combinación!
Entonces, usando tres lamparitas y si pensamos en sistema binario, lo siguiente representaría el 0 (cero):
Del mismo modo, lo siguiente representaría el 1 (uno):
No necesitamos los ceros iniciales, pero los incluiremos para ver los patrones más fácilmente.
Por esta lógica, como no hay un dígito para el 2, necesitaremos cambiar otro dígito del patrón para representar el siguiente número:
Extendiendo esta lógica aún más, ”agregamos 1” para representar el 3:
Siguiendo con el patrón, el 4 se representaría como:
El 5 se representaría como:
El 6 se representaría como:
¡Podríamos, de hecho, usando solo tres lamparitas contar hasta siete!
Si agregásemos más lamparitas, ¡Podríamos aumentar las opciones de combinación existentes!
¿Qué número decimal representa el número binario 1001,1?
El número binario 1001,1 representa el número decimal 9.5. Esto se debe a que el primer 1 está en la posición de los 8s (23), las posiciones de los 4s y de los 2s no tienen valor por ser 0, el segundo 1 está en la posición de las unidades (20), y el 1 después de la coma está en la posición de los medios (2-1). Entonces, 8 + 0 + 0 + 1 + 0.5 = 9.5.
Sin entrar en mucho detalle por ahora, los números enteros, flotantes y otros tipos de datos se representan en binario utilizando diferentes técnicas, como complemento a dos para números negativos y formatos específicos para números en punto flotante.
Sistema hexadecimal (Base 16)
En ciertos contextos, especialmente en programación, se utiliza el sistema hexadecimal para representar y visualizar datos binarios de manera más compacta y legible para los humanos.
En el sistema hexadecimal, por ejemplo, cada dígito puede representar 4 bits (de 0000 a 1111 en binario), lo que facilita la visualización de valores binarios largos.
Así, el sistema hexadecimal es un sistema posicional que utiliza dieciséis símbolos para la representación de números o cantidades. Estos símbolos son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, y F, donde las letras A, B, C, D, E, F equivalen a 10, 11, 12, 13, 14 y 15 del sistema decimal respectivamente.
¿Qué número decimal representa el número hexadecimal 2CA?
El número hexadecimal 2CA representa el número decimal 714. Esto se debe a que el 2 está en la posición de los 256s (162), la C (que representa 12 en decimal) está en la posición de los 16s (161), y la A (que representa 10 en decimal) está en la posición de las unidades (160). Entonces, 2256 + 1216 + 10 = 714.
Sistema octal (Base 8)
El sistema de numeración octal es un sistema posicional que utiliza ocho símbolos para la representación de números o cantidades. Estos símbolos son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7.
En el sistema octal, cada dígito puede representar 3 bits (de 000 a 111 en binario), lo que facilita la visualización de valores binarios largos.
¿Qué número decimal representa el número octal 724?
El número octal 724 representa el número decimal 468. Esto se debe a que el 7 está en la posición de los 64s (82), el 2 en la posición de los 8s (81), y el 4 en la posición de las unidades (80). Entonces, 764 + 28 + 4 = 468.
Al igual que el sistema hexadecimal, el sistema octal se utiliza en ciertos contextos de programación y representación compacta de datos binarios. Sin embargo, es menos común que el sistema hexadecimal debido a que este último es más eficiente para representar datos binarios (ya que cada dígito hexadecimal representa 4 bits, en lugar de 3 en el sistema octal).
Rango de representación: valores mínimo y máximo
Se denomina rango de representación en un sistema determinado, al conjunto de números representables con el mismo.
Un sistema de base b y números de n dígitos tiene un rango igual a bn.
El valor mínimo representable se obtiene cuando los n dígitos del número son iguales al símbolo de menor valor del sistema, por ejemplo con 4 dígitos, 0000 coincide como mínimo en base 2, 10 o 16.
El valor máximo representable se obtiene cuando los n dígitos del número son iguales al símbolo de mayor valor del sistema, por ejemplo con 4 dígitos, los máximos serán 11112, 999910 o FFFF16.
Conversiones entre los sistemas de numeración
Se denomina conversión entre números representados en distintos sistemas de numeración a la transformación de una determinada cantidad expresada en uno de dichos sistemas de numeración, a su representación equivalente en el otro sistema.
Conversión decimal-binario
El método de conversión de un número decimal a un número binario consiste en efectuar, sobre la parte entera del número decimal, divisiones sucesivas de los cocientes por el número 2, hasta que el cociente entre una de las divisiones tome el valor 1. La unión del último cociente y de todos los restos obtenidos, escritos en orden inverso, nos proporciona ahora el número inicial expresado en sistema binario.
Por ejemplo,
Leyendo el último cociente y todos los restos desde el último obtenido al primero de ellos, obtenemos: 11012 = 1410
Para convertir una fracción decimal a su equivalente binario se debe multiplicar dicha fracción por dos, obteniendo en la parte entera del resultado el primero de los dígitos binarios de la fracción que buscamos. A continuación, se repite el proceso con la parte fraccionaria del resultado anterior, obteniendo en la parte entera del nuevo resultado el segundo de los dígitos buscados. El proceso se repite hasta que desaparezca la parte fraccionaria de los resultados parciales (se haga 0) o hasta que tengamos los suficientes dígitos binarios.
Por ejemplo,
Un número decimal que posee parte entera y parte fraccionaria (ej. 4,625) puede convertirse a su representación binaria utilizando los 2 mecanismos anteriores, uno para la parte a la izquierda de la coma (410= 1002) y el otro para la parte a la derecha de la misma (,62510 = ,1012). El resultado completo es 4,62510 = 100,1012.
Conversión hexadecimal-binario y binario-hexadecimal
Cada dígito hexadecimal tiene una representación binaria con cuatro dígitos según indica la siguiente tabla:
| Hexadecimal | Binario | Decimal |
|---|---|---|
| 0 | 0000 | 0 |
| 1 | 0001 | 1 |
| 2 | 0010 | 2 |
| 3 | 0011 | 3 |
| 4 | 0100 | 4 |
| 5 | 0101 | 5 |
| 6 | 0110 | 6 |
| 7 | 0111 | 7 |
| 8 | 1000 | 8 |
| 9 | 1001 | 9 |
| A | 1010 | 10 |
| B | 1011 | 11 |
| C | 1100 | 12 |
| D | 1101 | 13 |
| E | 1110 | 14 |
| F | 1111 | 15 |
Esta tabla puede ser utilizada para convertir un número hexadecimal a binario.
En esta conversión cada dígito hexadecimal se reemplaza por los cuatro dígitos binarios correspondientes.
En la conversión de binario a hexadecimal se realiza un proceso inverso. Se agrupan los dígitos binarios de a 4 a partir de la coma decimal hacia la izquierda y hacia la derecha, sustituyendo cada cuarteto por su correspondiente dígito hexadecimal.
Por ejemplo:
Convertir el número hexadecimal 7BA3,BC16 a binario
Convertir el número binario 0001100101001111,10110112 a hexadecimal
Clases audiovisuales sobre conversión
Decimal a Binario - Decimal a Hexadecimal - Decimal a Octal
Binario a Decimal - Parte 1
Binario, Hexadecimal y Octal a Decimal - Parte 2
Binario, Hexadecimal y Octal a Decimal - Parte 3
Clase audiovisual sobre aritmética binaria
Al igual que en el sistema decimal que conocemos, en el sistema binario también podemos realizar operaciones de suma, resta, multiplicación y división.
Ejercicios
- Convierte en binario el número 1210
- Convierte en hexadecimal el número 6010
- Convierte el número 100011112 a decimal.
- Convierte el número 100011112 a hexadecimal.
- Convierte en binario el número 132710
- Convierte el número 010010112 a decimal.
- ¿Cuáles de estos dos números es mayor en el sistema decimal 10111012 o 5B16?
- ¿Cuál de estos números es menor: A5DE16 o 001110102?
Representación binaria:
La unidad fundamental de almacenamiento en la computadora es el bit, que puede ser 0 o 1. Todos los datos, ya sean números, texto, imágenes, sonidos, etc., se representan en forma binaria utilizando combinaciones de 0 y 1.
En su nivel más fundamental, todo lo que se almacena en un medio de almacenamiento digital está representado en forma binaria. Cada archivo, sin importar su tamaño, se descompone en una secuencia de ceros y unos que los dispositivos electrónicos pueden entender y procesar.
- La representación binaria utiliza solo dos símbolos, 0 y 1, que se corresponden con los estados de "apagado" y "encendido" en la electrónica digital.
- Los datos binarios son fundamentales en la computación, ya que los circuitos electrónicos de las computadoras están diseñados para manipular señales binarias.
- Cada dígito binario se llama bit (binary digit). Un conjunto de 8 bits se llama byte, que es una unidad común de medida en el almacenamiento y la transmisión de datos.
- Los números, textos, imágenes y sonidos pueden ser representados en formato binario mediante distintas técnicas de codificación.
Bytes y estructuras de datos
Los datos se agrupan en bytes, que son secuencias de 8 bits. Los bytes se utilizan para representar diferentes tipos de datos. Por ejemplo, un carácter en ASCII o UTF-8 se representa con un byte. Para datos más grandes, como números enteros, números de punto flotante, texto largo, imágenes, etc., se utilizan múltiples bytes o estructuras de datos más complejas.
Formatos de datos:
Los datos pueden tomar diferentes formatos como números enteros, números decimales, caracteres simples o cadenas de caracteres, imágenes, videos o sonidos, entre otros formatos.
Estos formatos se denominan tipo de dato y cada tipo de dato tiene su propio formato de representación. Por ejemplo:
Representación de datos estructurados y no estructurados
Los datos estructurados, como las bases de datos, se organizan en tablas con filas y columnas, mientras que los datos no estructurados, como archivos de texto, imágenes o videos, pueden almacenarse en forma de archivos binarios o en formatos específicos diseñados para ese tipo de datos.
Representación de imágenes:
Imágenes y Videos: Se almacenan como matrices de píxeles, donde cada píxel tiene valores de color.
- Las imágenes se pueden representar digitalmente mediante píxeles, que son los elementos más pequeños de una imagen.
- Cada píxel se puede representar mediante valores numéricos que indican su color y brillo. Los colores suelen representarse mediante combinaciones de los tres colores primarios: rojo, verde y azul (modelo RGB).
- La resolución de una imagen se refiere a la cantidad de píxeles que la componen, y la profundidad de bits determina la cantidad de colores o tonos que se pueden representar por píxel.
- Los formatos de archivo comunes para imágenes incluyen JPEG, PNG, GIF, BMP, entre otros, que utilizan diferentes algoritmos de compresión para almacenar la información de imagen de manera eficiente.
Representación de sonidos:
Se representan mediante muestras de amplitud en función del tiempo. Codificación: La elección de la codificación afecta cómo se representan los datos. Por ejemplo, UTF-8 es ampliamente utilizado para caracteres multilingües.
- El sonido se puede representar digitalmente mediante muestras de audio.
- En la grabación digital de sonido, se toman muestras del sonido a intervalos regulares (frecuencia de muestreo), y la amplitud del sonido en cada momento se convierte en un valor numérico (profundidad de bits).
- Cuanto mayor sea la frecuencia de muestreo y la profundidad de bits, mayor será la fidelidad de la reproducción del sonido.
- Los formatos de archivo de audio comunes incluyen MP3, WAV, AAC, entre otros, que utilizan diferentes métodos de compresión para almacenar el audio de manera eficiente sin sacrificar demasiada calidad perceptible.
En resumen, la representación de datos en formato binario, texto, imágenes y sonido es esencial para el funcionamiento de la computación moderna, permitiendo el almacenamiento, procesamiento y transmisión eficientes de una amplia variedad de información.
Unario, decimal, binario. Números, texto, emojis, imágenes, videos y sonidos.
Todas estas ideas son solo ceros y unos, interpretadas y utilizadas por el software que escribiremos, para interpretarlas de la manera que queramos.